\chapter{یک الگوریتم حداقل باقی مانده پیش شرط یافته برای معادلات سیلوستر}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\section{مقدمه}
در این فصل، یک نسخه بهینه‌شده از روش حداقل باقی‌مانده برای حل معادلات سیلوستر ارائه می‌شود که از پیش‌شرط‌سازی برای بهبود کارایی آن استفاده شده است. در این روش، ابتدا یک مقدار اولیه برای جواب انتخاب می‌شود و سپس مقدار باقی‌مانده محاسبه می‌گردد. هدف این است که با یافتن یک تصحیح مناسب، مقدار باقی‌مانده به حداقل برسد و حل معادله با سرعت بیشتری همگرا شود.
این الگوریتم از زیرفضای کریلوف برای نمایش مؤثر داده‌ها استفاده می‌کند و با بهره‌گیری از روش‌های عددی مناسب، نیاز به محاسبات پیچیده و حافظه زیاد را کاهش می‌دهد. همچنین، برای حل مؤثرتر معادلات کوچک‌تر در این فرآیند، از روش‌های مبتنی بر فاکتورگیری استفاده می‌شود. در نهایت، استفاده از پیش‌شرط‌سازی باعث افزایش پایداری عددی و دقت حل معادله می‌شود و عملکرد الگوریتم را بهبود می‌بخشد.
\section{بهبود همگرایی و کارایی محاسباتی در حل معادلات سیلوستر با استفاده از روش‌های کمترین باقی‌مانده پیش‌شرط‌سازی شده}
روش مورد اشاره در مرجع
\cite{13}
، یک روش مبتنی بر زیرفضای کریلوف برای حل معادلات سیلوستر است که توسط هو
\LTRfootnote{D.Y. Hu}
و ریچل
\LTRfootnote{L. Reichel}
ارائه شده است. این روش، که بر پایه‌ی الگوریتم‌های گالرکین و حداقل باقی‌مانده توسعه یافته، سعی در کاهش ابعاد معادله و بهبود همگرایی دارد. هدف این روش، حل عددی معادله سیلوستر به شکل
\eqref{z00001}
است. روش کریلوف-زیرفضا از دو گام اساسی تشکیل شده است: کاهش ابعاد معادله‌ی اصلی و حل معادله‌ی کاهش‌یافته با استفاده از روش‌های مستقیم. این روش از زیرفضای کریلوف برای کاهش مرتبه‌ی معادله استفاده می‌کند. زیرفضای کریلوف
$ K_m(A, v)$
برای ماتریس 
$A$
و بردار 
$v$
شامل بردارهای تولیدشده توسط توان‌های متوالی
$A$
است. در این روش، دو زیرفضای کریلوف تعریف می‌شوند: یکی برای ماتریس
$A$
که با
$ V_m$
نمایش داده می‌شود و دیگری برای ماتریس 
$B$
که با 
$W_m$
مشخص می‌شود. این دو ماتریس از طریق فرآیند آرنولدی ساخته می‌شوند و شامل بردارهای متعامد هستند. پس از استخراج زیرفضای کریلوف، معادله اصلی به یک معادله کوچک‌تر کاهش داده می‌شود. این معادله‌ی کاهش‌یافته به‌صورت 
$A_m X_m - X_m B_m = C_m$
است که در آن، 
$A_m$
و 
$B_m$
ماتریس‌های کوچک‌تر حاصل از تبدیل زیرفضای کریلوف، و 
$C_m$
ماتریس کاهش‌یافته‌ی متناظر با 
$C$
است. این معادله جدید، که ابعاد آن بسیار کوچک‌تر از معادله اصلی است، را می‌توان با روش‌های مستقیم مانند بارتلز-استوارت
\LTRfootnote{Bartels-Stewart}
حل کرد. سپس، با استفاده از بردارهای پایه‌ی کریلوف، جواب تقریبی
$X$
بازسازی می‌شود.

در روش گالرکین، بردار باقی‌مانده 
$R = AX - XB - C$
به زیرفضای کریلوف تصویر می‌شود تا مقدار آن حداقل گردد، در حالی که در روش حداقل باقی‌مانده، حل به‌گونه‌ای تنظیم می‌شود که نرم بردار باقی‌مانده کمینه شود. این روش معمولاً نسبت به روش گالرکین دقت بیشتری دارد. این روش دارای مزایای متعددی زیر است: 
\begin{enumerate}
\item[1.]
کاهش چشمگیر پیچیدگی محاسباتی با استفاده از زیرفضای کریلوف؛
\item[2.]
حفظ ویژگی‌های عددی ماتریس‌ها در حین کاهش ابعاد؛
\item[3.]
امکان استفاده از پیش‌شرط‌سازی برای افزایش سرعت همگرایی و قابلیت اجرا برای ماتریس‌های بزرگ و پراکنده در مقایسه با روش‌های مستقیم.
\end{enumerate}
در مجموع، روش ارائه‌شده در مرجع 
\cite{13}
، یک الگوریتم کارآمد برای حل معادله سیلوستر است که از زیرفضای کریلوف برای کاهش ابعاد و از روش‌های عددی مانند گالرکین و حداقل باقی‌مانده برای حل معادله کاهش‌یافته استفاده می‌کند. این تکنیک باعث کاهش هزینه محاسباتی و افزایش دقت حل می‌شود و می‌تواند به‌طور مؤثری برای سیستم‌های بزرگ و پراکنده به کار رود.\\
روش بارتلز-استوارت یک روش عددی کلاسیک برای حل معادلات سیلوستر است که توسط بارتلز و استوارت در سال ۱۹۷۲ ارائه شد. این روش یک رویکرد مستقیم برای حل معادله سیلوستر می باشد که از تجزیه‌ی شور و حل یک دستگاه معادلات خطی مثلثی استفاده می‌کند. در این روش ابتدا ماتریس‌های
$A$
و
$B$
را به فرم شور تجزیه می‌کنیم،
$$A = Q_A T_A Q_A^T, \quad B = Q_B T_B Q_B^T,$$
که در آن، 
$Q_A$
و
$Q_B$
ماتریس‌های متعامد و
$T_A$
و 
$T_B$
ماتریس‌های بالا مثلثی هستند. این تجزیه را می‌توان با الگوریتم شور به‌دست آورد. با جایگذاری
$A$
و
$B$
در معادله اصلی و استفاده از خاصیت ماتریس‌های متعامد داریم،
$$(Q_A T_A Q_A^T) X - X (Q_B T_B Q_B^T) = C.$$
با اعمال تغییر متغیر
$ Y = Q_A^T X Q_B$
، این معادله به شکل ساده‌تر تبدیل می‌شود،
$$T_A Y - Y T_B = Q_A^T C Q_B.$$
معادله جدید
$ T_A Y - Y T_B = C^{'}$
را می‌توان با روش جایگذاری رو به جلو و عقب حل کرد، زیرا
$T_A$
و 
$T_B$
مثلثی هستند. این حل به صورت ستونی یا سطری انجام می‌شود. در نهایت، جواب اصلی را با اعمال تبدیل معکوس به‌دست می‌آوریم، یعنی،
$$X = Q_A Y Q_B^T.$$
در روش کریلوف که در مرجع 
\cite{13}
استفاده شده، ابتدا معادله سیلوستر را با استفاده از زیرفضای کریلوف به یک معادله سیلوستر کوچک‌تر کاهش می‌دهند. این معادله کاهش‌یافته دارای ابعاد بسیار کوچک‌تری نسبت به معادله اصلی است و برای حل آن، از روش‌های مستقیم مانند بارتلز-استوارت استفاده می‌شود. به‌عبارت دیگر، روش بارتلز-استوارت یک روش قوی برای حل معادلات سیلوستر کوچک و متراکم است، اما برای ماتریس‌های بزرگ و پراکنده کارایی کمتری دارد. در روش‌های کریلوف، ابتدا معادله اصلی را به یک معادله سیلوستر کوچک‌تر تبدیل می‌کنند و سپس از روش بارتلز-استوارت برای حل مؤثر آن استفاده می‌کنند. این ترکیب باعث می‌شود که روش کریلوف بتواند دستگاه‌های بزرگ را با هزینه‌ی محاسباتی کمتر حل کند.\\
فرض کنید 
$x_0$
یک تقریب اولیه برای حل دستگاه
\eqref{z00002}
باشد و بردار باقی‌مانده به‌صورت 
$r_0 = c_{M,N} - P_{M,N} x_0$
تعریف شود. هدف این است که تقریب جدید
$ x_m = x_0 + z_0$
بیابیم که در آن، 
$z_0$
در زیرفضای
$K_m(N^T B^T, g) \otimes K_m(MA, f)$
قرار دارد و به‌گونه‌ای انتخاب می‌شود که مقدار نرم بردار باقی‌مانده
\eqref{z00004}
در حالت جدید حداقل گردد.
\\برای ساخت این روش، حالتی را در نظر می‌گیریم که در آن
$r_0$
در زیرفضای
$K_{m+1}(N^T B^T, g) \otimes K_{m+1}(MA, f)$
قرار دارد. ابتدا، بردار باقی‌مانده‌ی اولیه
$r_0$
را در یک زیرفضای مناسب نمایش داده و سپس از تکنیک حداقل مربعات برای یافتن 
$z_0$
استفاده می‌کنیم. بردار باقی‌مانده را بر اساس زیرفضای کریلوف بازنویسی کرده و مقدار آن را به‌صورت ترکیبی از بردارهای پایه‌ی زیرفضای انتخابی بیان می‌کنیم. از آنجا که در این روش از زیرفضای کریلوف استفاده می‌شود، بردار باقی‌مانده
$r_0$
را می‌توان به کمک بردارهای متعامد حاصل از فرآیند آرنولدی در زیرفضای کریلوف نمایش داد. به این منظور، دو زیرفضای کریلوف زیر برای دو ماتریس
$A$
و 
$B^T$
ساخته می‌شود:
\begin{enumerate}
\item[1.]
زیرفضای کریلوف
$K_{m+1}(MA, f)$
که توسط ماتریس
$V_{m+1}$
نمایش داده می‌شود.
\item[2.]
زیرفضای کریلوف
$K_{m+1}(N^T B^T, g)$
که توسط ماتریس
$W_{m+1}$
نمایش داده می‌شود.
\end{enumerate}
این دو ماتریس، بردارهای متعامد ساخته‌شده از زیرفضای کریلوف را شامل می‌شوند. از این رو، می‌توان بردار باقی‌مانده را به‌صورت ترکیبی خطی از این بردارها نوشت، یعنی،
\begin{equation}\begin{aligned}\label{z00010a}
\tilde{r}_0 = (W_{m+1} \otimes V_{m+1})^T r_0,
\end{aligned}\end{equation}
این معادله نشان می‌دهد که بردار باقی‌مانده اولیه را می‌توان در قالب زیرفضای ترکیبی کریلوف نمایش داد. سپس، با بازنویسی این رابطه و استفاده از این حقیقت که 
$r_0$
می‌تواند به‌صورت ترکیبی از بردارهای
$W_{m+1}$
و 
$V_{m+1}$
نمایش داده شود، رابطه‌ی زیر به‌دست می‌آید،
\begin{equation}\begin{aligned}\label{z00010b}
r_0 = (W_{m+1} \otimes  V_{m+1}) \tilde{r}_0.
\end{aligned}\end{equation}
بردار باقیمانده 
$r_1$
به صورت زیر تعریف می‌شود،
$$r_1 = r_0 - (N^T \otimes MA - N^T B^T \otimes M) z_0,$$
از طرفی می دانیم
$z_0 = (W_m \otimes V_m) y_0$
،  که در آن 
$W_m$
و
$V_m$
ماتریس‌های پایه‌های متعامد برای زیرفضاهای کریلوف
$K_m(N^T B^T, g)$
و
$K_m(MA, f)$
هستند. با جایگزینی
$z_0$
در رابطه باقیمانده، داریم:
$$ r_1 = r_0 - (N^T \otimes MA - N^T B^T \otimes M) (W_m \otimes V_m) y_0,$$
با استفاده از ویژگی‌های ماتریس‌ها و زیرفضاهای کریلوف، می‌توانیم عبارت بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم،
$$  r_1 = (W_{m+1} \otimes V_{m+1}) \left[ \tilde{r}_0 - (W{m+1}^T N^T W_m \otimes \tilde{H}{MA} - \tilde{H}{NB} \otimes V_{m+1}^T MV_m) y_0 \right],$$
که در آن 
$\tilde{r}_0 = (W{m+1} \otimes V_{m+1})^T r_0$
. برای مینیمم کردن نرم باقیمانده
$\| r_1 \|_2 $
، باید عبارت داخل براکت را مینیمم کنیم. یعنی:
\begin{equation}\begin{aligned}\label{z00011}
   \min \| \tilde{r}_0 - (W{m+1}^T N^T W_m \otimes \tilde{H}{MA} - \tilde{H}{NB} \otimes V_{m+1}^T MV_m) y_0 \|_2.
\end{aligned}\end{equation}
رابطه 
\eqref{z00011}
نشان می‌دهد که چگونه می‌توان با استفاده از زیرفضاهای کریلوف و ماتریس‌های پیش‌شرط‌کننده، مسئله را به یک مسئله کمترین مربعات تبدیل کرد که می‌توان آن را با روش‌های عددی استاندارد حل کرد. \\
در ادامه تجزیه شور ماتریس‌های
$H_{MA}$
و 
$H_{NB}$
را به دست می آوریم. تجزیه‌ی شور به صورت زیر است،
$$H_{MA} = Q_{MA} R_{MA} Q_{MA}, \quad H_{NB} = Q_{NB} R_{NB} Q_{NB},$$
که در آن 
$Q_{MA}$
و
$ Q_{NB}$
 ماتریس‌های متعامد یکانی و 
$R_{MA}$
و
$R_{NB}$
ماتریس‌های بالا مثلثی هستند.  برای کار با ماتریس‌های بزرگ‌تر، ماتریس‌های
$\tilde{Q}_{MA}$
و
$\tilde{Q}_{NB}$
را به ترتیب به صورت زیر تعریف می‌کنیم،
$$\tilde{Q}_{MA}\equiv\begin{bmatrix} Q_{MA} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \tilde{Q}_{NB}\equiv \begin{bmatrix} Q_{NB} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$
این ماتریس‌ها ابعاد
$(m+1) \times (m+1)$
دارند و
$Q_{MA}$
و
$Q_{NB}$
به عنوان زیرماتریس‌های اصلی در آنها قرار گرفته‌اند. همچنین ماتریس‌های
$\tilde{R}_{MA}$
و
$\tilde{R}_{NB}$
را به صورت زیر تعریف می‌کنیم،
$$\tilde{R}_{MA} = \tilde{Q}_{MA}^* \tilde{H}_{MA} Q_{MA}, \quad \tilde{R}_{NB} = \tilde{Q}_{NB}^* \tilde{H}_{NB} Q_{NB},$$
که در آن
$\tilde{H}_{MA}$
و
$\tilde{H}_{NB}$
ماتریس‌های هسنبرگ هستند. برای محاسبه‌ی سطر
$(m+1)$
-اُم ماتریس
$\tilde{R}_{MA}$
، از رابطه‌ی زیر استفاده می‌کنیم،
\begin{equation}\begin{aligned}\label{z00012}
e_{m+1}^T \tilde{R}_{MA} e_j = e_{m+1}^T \tilde{H}_{MA} e_m e_m^T Q_{MA} e_j, \quad 1 \leq j \leq m,
\end{aligned}\end{equation}
که در آن داریم:
\begin{enumerate}
\item[1.]
$e_j$
و
$e_{m+1}$
بردارهای پایه‌ی استاندارد هستند؛
\item[2.]
$e_{m+1}^T \tilde{H}_{MA} e_m$
عنصر 
$(m+1, m)$
-اُم ماتریس 
$\tilde{H}_{MA}$
است؛
\item[3.]
$e_m^T Q_{MA} e_j $
عنصر
$(m, j)$
اُم ماتریس 
$Q_{MA}$
است.
\end{enumerate}
رابطه
\eqref{z00012}
برای ماتریس
$\tilde{R}{NB}$
نیز به طور مشابه با ماتریس
$\tilde{R}{MA}$
به دست می‌آید به طوری که برای محاسبه‌ی سطر
$(m+1)$
ام ماتریس
$\tilde{R}_{NB}$
، از رابطه‌ی زیر استفاده می‌کنیم:
$$e_{m+1}^T \tilde{R}{NB} e_j = e_{m+1}^T \tilde{H}{NB} e_m e_m^T Q{NB} e_j, \quad 1 \leq j \leq m.$$
با توجه به 
\eqref{z00008}
می دانیم که
$y_{0}^{'}=(Q_{NB}\otimes Q_{MA})^{*}y_{0}$
و
$r^{'}=(Q_{NB}\otimes Q_{MA})^{*}\tilde{r}_0$
، با قرار دادن آن ها در رابطه
\eqref{z00011}
داریم،
\begin{equation}\begin{aligned}\label{z00013}
 \min \| \tilde{r}0 - (\tilde{Q}{NB}^* W_{m+1}^T N^T W_m Q_{NB} \otimes \tilde{R}{MA} - \tilde{R}{NB} \otimes \tilde{Q}{MA}^* V_{m+1}^T MV_m Q_{MA}) y_0 \|_2,
\end{aligned}\end{equation}
به عبارت دیگر رابطه
\eqref{z00013}
از طریق پیش‌شرط‌سازی، استفاده از زیرفضاهای کریلوف، و تبدیل سیستم بزرگ به یک سیستم کوچک‌تر به دست آمده است. سپس با حل یک مساله کمترین مربعات، بردار مجهول 
$y_{0}$
پیدا می‌شود. می توانیم ابتدا
$y_{0}^{'}$
را با حل مساله کمترین مربعات و سپس
$y_{0}$
،
$z_{0}$
،
$x_{1}$
و
$r_{1}$
را تعیین کنیم. محاسبه 
$r_{1}$
به دلیل پراکندگی ماتریس های 
$MA$
و
$NB$
آسان نیست، به این منظور توصیه می شود که آن را از طریق عبارت زیر محاسبه کنیم،
$$r_{1}=r_{0}-(N^{T}W_{m}\otimes V_{m+1}\tilde{H}_{MA})y_{0}+(W_{m+1}\tilde{H}_{NB}\otimes MV_{m})y_{0}.$$
اگر 
$||r_{1}||_{2}$
به اندازه کافی کوچک نباشد، آنگاه قرار می دهیم
$x_{0}=x_{1}$
و
$r_{0}=r_{1}$
و روش حداقل باقیمانده  پیش‌شرط‌سازی شده را دوباره با بردارهای جدید
$f,g\in\mathbb{R}^{n}$
اعمال می کنیم. الگوریتم زیر از روش‌های پیش‌شرط‌سازی و زیرفضاهای کریلوف برای کاهش ابعاد مساله و بهبود همگرایی استفاده می‌کند.
\begin{al}
این الگوریتم روش کمترین باقی‌مانده پیش‌شرط‌سازی شده
$(PMR)$
را برای حل معادله
\eqref{z00002}
، در گام های زیر اجرا می کند:
\begin{enumerate}
\item[1.]
\textbf{ورودی‌ها.}
\\ جواب تقریبی اولیه
$x_0$
؛\\مقدار
$\epsilon>0$
برای شرط توقف؛
 \\عدد صحیح
$m$
که بُعد زیرفضای کریلوف را مشخص می‌کند.
\item[2.]
\textbf{محاسبه بردار باقی‌مانده اولیه.}
$$r_0 = c_{M,N} - P_{M,N} x_0.$$
اگر
$\| r_0 \|_2 < \epsilon$
، آنگاه الگوریتم متوقف شده و 
$x_0$
به عنوان جواب نهایی بازگردانده می‌شود.
\item[3.]
\textbf{
انتخاب بردارهای
$f$
و
$g$
.
}

بردارهای
$f, g \in \mathbb{R}^n$
را بر اساس استراتژی‌های توضیح داده شده در ابتدای فصل انتخاب می کنیم.
\item[4.]
\textbf{تولید پایه‌های متعامد با استفاده از فرآیند آرنولدی.}
\\فرآیند آرنولدی را برای تولید پایه‌های متعامد زیرفضاهای کریلوف
$K_{m+1}(MA, f)$
و 
$K_{m+1}(N^T B^T, g)$
اعمال می کنیم.
\\ماتریس‌های
$\tilde{H}{MA}$
،
$\tilde{H}{NB}$
،
$V_m$
،
$V_{m+1}$
،
$W_m$
و
$W_{m+1}$
 را محاسبه می کنیم.
\item[5.]
\textbf{محاسبه بردار باقی‌مانده بازتابی.}
$$\tilde{r}_0 = (W_{m+1} \otimes V_{m+1})^T r_0.$$
\item[6.]
\textbf{
 تعیین ماتریس‌های 
$Q_{MA}$
،
$\tilde{Q}_{MA}$
،
$\tilde{R}_{MA}$
،
$Q_{NB}$ 
،
$\tilde{Q}_{NB}$
و
$\tilde{R}_{NB}$
.} از ماتریس‌های 
$\tilde{H}_{MA}$
و 
$\tilde{H}_{NB}$
ماتریس‌های
$Q_{MA}$
،
$\tilde{Q}_{MA}$
،
$\tilde{R}_{MA}$
،
$Q_{NB}$
،
$\tilde{Q}_{NB}$
،
$\tilde{R}_{NB}$
را محاسبه می کنیم.
\item[7.]
\textbf{محاسبه بردار باقی‌مانده تبدیل‌شده.}
$$\tilde{r}_0 = (\tilde{Q}_{NB} \otimes \tilde{Q}_{MA})^T \tilde{r}_0,$$
\item[8.]
\textbf{حل مساله کمترین مربعات.}
مساله کمترین مربعات زیر را حل می کنیم،
$$\min \| \tilde{r}_0 - (\tilde{Q}_{NB}^* W_{m+1}^T N^T W_m Q_{NB} \otimes \tilde{R}_{MA} - \tilde{R}_{NB} \otimes \tilde{Q}_{MA}^* V_{m+1}^T M V_m Q_{MA}) y_0 \|_2,$$
جواب این مساله را 
$y_0$
بنامید.
\item[9.]
\textbf{تبدیل 
$y_0$
 به فضای اصلی.} به عبارت دیگر،
$$y_0 = (Q_{NB} \otimes Q_{MA}) y_0.$$
\item[10.]
\textbf{محاسبه تصحیح 
$z_0$
.} یعنی،
$$z_0 = (W_m \otimes V_m) y_0.$$
\item[11.]
\textbf{به‌روزرسانی جواب تقریبی.}
$$x_0 = x_0 + z_0,$$
\item[12.]
\textbf{محاسبه بردار باقی‌مانده جدید.}
 که به صورت زیر است،
$$r_0 = r_0 - (N^T W_m \otimes V_{m+1} \tilde{H}_{MA}) y_0 + (W_{m+1} \tilde{H}_{NB} \otimes M V_m) y_0,$$
\item[13.]
\textbf{بررسی شرط توقف.}
اگر 
$\| r_0 \|_2 < \epsilon$
باشد، الگوریتم متوقف شده و
$x_0$
به عنوان جواب نهایی بازگردانده می‌شود. در غیر این صورت، به مرحله 3 برگردید و الگوریتم را با بردارهای جدید
$f$
و
$g$
تکرار کنید.
\end{al}
مساله کمترین مربعات (مرحله 8) برای یافتن جواب بهینه در فضای کوچک‌تر حل می‌شود. الگوریتم فوق به صورت تکراری اجرا می‌شود تا زمانی که نُرم بردار باقی‌مانده به مقدار تلرانس مورد نظر برسد.
\\
قضیه نشان می‌دهد که روش کمترین باقی‌مانده پیش‌شرط‌سازی شده 
$(PMR) $
برای حل معادلات سیلوستر، تحت شرایط مناسب (جدایی طیف‌های 
$MA$
و 
$N^T B^T$
)، همگرا است. این نتیجه اهمیت انتخاب پیش‌شرط‌سازهای مناسب و تأثیر آن‌ها بر همگرایی روش‌های تکراری را برجسته می‌کند.
\begin{theorem}
اگر ماتریس‌های
$MA$
و
$N^T B^T$
دارای طیف‌های جدا از هم باشند، یعنی،
$$\sigma(MA) \cap \sigma(N^T B^T) = \emptyset,$$
آنگاه روش کمترین باقی‌مانده پیش‌شرط‌سازی شده برای حل معادله سیلوستر همگرا است. به عبارت دیگر، دنباله جواب‌های تقریبی 
$\{X_k\}$
تولید شده توسط الگوریتم
$PMR$
به جواب دقیق
$X^*$
همگرا می‌شود.
\end{theorem}
\begin{proof}
معادله سیلوستر
$AX - XB = C$
را می‌توان به صورت یک سیستم خطی بزرگ زیر بازنویسی کرد،
$$(I \otimes A - B^T \otimes I) vec(X) = vec(C),$$
که در آن
$\otimes$
نشان‌دهنده ضرب کرونکر و 
$vec(X)$
بردارسازی ماتریس
$X$
است. با اعمال پیش‌شرط‌سازها، سیستم پیش‌شرط‌سازی شده به صورت زیر نوشته می‌شود،
$$(N^T \otimes MA - N^TB^T \otimes M)vec(X) = (N^T \otimes M)vec(C).$$
در روش 
$PMR$
، زیرفضاهای کریلوف 
$K_m(MA, f)$
و
$K_m(N^T B^T, g)$
، تولید می‌شوند. این زیرفضاها با استفاده از فرآیند آرنولدی به دست می‌آیند و پایه‌های متعامد
$V_m$
و
$W_m$
را تشکیل می‌دهند.\\
در هر تکرار، مساله کمترین مربعات زیر حل می‌شود،
$$\min \| \tilde{R}0 - (\tilde{Q}{NB}^* W_{m+1}^T N^T W_m Q_{NB} \otimes \tilde{R}{MA} - \tilde{R}{NB} \otimes \tilde{Q}{MA}^* V{m+1}^T M V_m Q_{MA}) Y_0 \|_F,$$
که در آن
$\tilde{R}_0$
بردار باقی‌مانده بازتابی است. برای اثبات همگرایی، از این واقعیت استفاده می‌کنیم که اگر طیف‌های
$MA $
و 
$N^T B^T$
جدا از هم باشند، ماتریس سیستم پیش‌شرط‌سازی شده 
$P_{M,N} = N^T \otimes MA - N^TB^T \otimes M$
معکوس‌پذیر است. بنابراین، سیستم خطی پیش‌شرط‌سازی شده یک جواب منحصربه‌فرد دارد. از آنجایی که روش
$PMR$
یک روش کمترین مربعات است، در هر تکرار نرم باقی‌مانده کاهش می‌یابد. با توجه به اینکه طیف‌های 
$MA$
و 
$N^T B^T$
جدا از هم هستند، ماتریس
$P_{M,N}$
دارای خواص طیفی مناسب برای همگرایی روش‌های تکراری است. بنابراین، دنباله جواب‌های تقریبی
$\{X_k\}$
به جواب دقیق
$X^*$
همگرا می‌شود.
\hfill\fbox{}
\end{proof}
قضیه زیر نشان می‌دهد که روش 
$PMR$
برای حل معادلات سیلوستر، تحت شرایط مناسب همگرا است. علاوه بر این، نرخ همگرایی به کیفیت پیش‌شرط‌سازها و خواص طیفی سیستم پیش‌شرط‌سازی شده بستگی دارد. این نتیجه اهمیت انتخاب پیش‌شرط‌سازهای مناسب و تأثیر آن‌ها بر همگرایی روش‌های تکراری را برجسته می‌کند.
\begin{theorem}
اگر ماتریس‌های
$MA$
و 
$N^T B^T$
دارای طیف‌های جدا از هم باشند، یعنی،
$$\sigma(MA) \cap \sigma(N^T B^T) = \emptyset,$$
و اگر پیش‌شرط‌سازهای 
$M$
و
$N$
به اندازه کافی مناسب باشند (یعنی 
$\| I - MA \|$
و
$\| I - NB \|$
کوچک باشند)، آنگاه روش 
$PMR$
برای حل معادله سیلوستر همگرا است. علاوه بر این، نرخ همگرایی به صورت زیر تخمین زده می‌شود،
$$\| X_k - X^* \|_F \leq \kappa \cdot \rho^k \| X_0 - X^* \|_F,$$
که در آن داریم:
\begin{enumerate}
\item[1.]
$X_k$
جواب تقریبی در تکرار
$k$
-اُم است.
\item[2.]
$X^*$
جواب دقیق معادله سیلوستر است.
\item[3.]
$\kappa$
عدد شرط سیستم پیش‌شرط‌سازی شده است.
\item[4.]
$\rho$
شعاع طیفی سیستم پیش‌شرط‌سازی شده است.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
معادله سیلوستر 
$AX - XB = C$
را می‌توان به صورت یک سیستم خطی بزرگ بازنویسی کرد،
$$(I \otimes A - B^T \otimes I)vec(X) =vec(C),$$
که در آن
$\otimes$
نشان‌دهنده ضرب کرونکر و 
$vec(X)$
بردارسازی ماتریس
$X$
است. با اعمال پیش‌شرط‌سازها، سیستم پیش‌شرط‌سازی شده به صورت زیر نوشته می‌شود،
$$(N^T \otimes MA - N^TB^T \otimes M)vec(X) = (N^T \otimes M)vec(C).$$
این سیستم را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد،
$$P_{M,N} vec(X) = c_{M,N},$$
که در آن،
$$P_{M,N} = N^T \otimes MA - N^TB^T \otimes M, \quad c_{M,N} = (N^T \otimes M) vec(C).$$
برای تحلیل همگرایی روش
$PMR$
، باید خواص طیفی ماتریس
$P_{M,N}$
را بررسی کنیم. اگر
$MA$
و
$N^T B^T$
دارای طیف‌های جدا از هم باشند، یعنی،
$$\sigma(MA) \cap \sigma(N^T B^T) = \emptyset,$$
آنگاه ماتریس
$P_{M,N}$
معکوس‌پذیر است و سیستم خطی پیش‌شرط‌سازی شده یک جواب منحصربه‌فرد دارد.\\
روش 
$PMR$
یک روش کمترین مربعات است که در هر تکرار نرم باقی‌مانده را کمینه می‌کند. با توجه به اینکه طیف‌های
$MA$
و 
$N^T B^T $
جدا از هم هستند، ماتریس 
$P_{M,N}$
دارای خواص طیفی مناسب برای همگرایی روش‌های تکراری است. نرخ همگرایی روش 
$PMR$
به شعاع طیفی 
$\rho$
ماتریس 
$P_{M,N}$
و عدد شرط
$\kappa$
آن بستگی دارد. اگر پیش‌شرط‌سازها به اندازه کافی خوب باشند، شعاع طیفی 
$\rho$
کوچک خواهد بود و نرخ همگرایی بهبود می‌یابد. با استفاده از تحلیل خطای روش‌های تکراری، می‌توان نشان داد که خطای جواب تقریبی
$X_k$
نسبت به جواب دقیق
$X^*$
به صورت زیر تخمین زده می‌شود،
$$\| X_k - X^* \|_F \leq \kappa \cdot \rho^k \| X_0 - X^* \|_F,$$
که در آن به ترتیب داریم:
\begin{enumerate}
\item[1.]
$\kappa$
 عدد شرط سیستم پیش‌شرط‌سازی شده است؛
\item[2.]
$\rho$
 شعاع طیفی سیستم پیش‌شرط‌سازی شده است.
\end{enumerate}
این رابطه نشان می‌دهد که خطا به صورت نمایی با افزایش تعداد تکرارها کاهش می‌یابد.
\hfill\fbox{}
\end{proof}
قضیه زیر نشان می‌دهد که روش بارتلز-استوارت برای حل معادلات سیلوستر، تحت شرایط مناسب (جدایی طیف‌های 
$A$
و 
$B$
)، یک روش پایدار و دقیق است. این روش به دلیل استفاده از تجزیه شور و حل سیستم‌های مثلثی، از نظر محاسباتی کارآمد بوده و خطای آن به خوبی کنترل می‌شود.
\begin{theorem}
اگر ماتریس‌های 
$A$
و 
$B$
دارای طیف‌های جدا از هم باشند و تجزیه‌های شور 
$A$
و 
$B$
به صورت دقیق محاسبه شوند، آنگاه روش بارتلز-استوارت برای حل معادله سیلوستر پایدار و دقیق است. به عبارت دیگر، خطای جواب محاسبه شده 
$\hat{X}$
نسبت به جواب دقیق
$X^*$
به صورت زیر تخمین زده می‌شود،
$$\frac{\| \hat{X} - X^* \|_F}{\| X^* \|_F} \leq \kappa \cdot \epsilon,$$
که در آن،
\begin{enumerate}
\item[1.]
$\kappa$
عدد شرط مساله است و به صورت زیر تعریف می‌شود،
$$\kappa = \| (I \otimes A - B^T \otimes I)^{-1} \|_2 \cdot \| I \otimes A - B^T \otimes I \|_2.$$
\item[2.]
$\epsilon$
خطای ماشین (مثلاً
$\epsilon \approx 10^{-16}$
برای محاسبات دقت مضاعف) است.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
با استفاده از تجزیه شور، ماتریس‌های
$A$
و
$B$
به صورت زیر تجزیه می‌شوند،
$$A = Q_A R_A Q_A^T, \quad B = Q_B R_B Q_B^T.$$
با جایگزینی این تجزیه‌ها در معادله سیلوستر، داریم،
$$Q_A R_A Q_A^T X - X Q_B R_B Q_B^T = C.$$
با ضرب هر دو طرف در
$Q_A^T$
از چپ و
$Q_B$
از راست، معادله به صورت زیر تبدیل می‌شود،
$$R_A Y - Y R_B = \tilde{C},$$
که در آن
$Y = Q_A^T X Q_B$
و 
$\tilde{C} = Q_A^T C Q_B$
. دستگاه
$R_A Y - Y R_B = \tilde{C}$
یک سیستم مثلثی است که می‌توان آن را به صورت مستقیم و پایدار حل کرد. حل این سیستم به دلیل ساختار مثلثی ماتریس‌های
$R_A$
و 
$R_B$
، از نظر محاسباتی کارآمد است.\\
خطای جواب محاسبه شده
$\hat{X}$
نسبت به جواب دقیق 
$\X^* $
به دو عامل اصلی بستگی دارد:
\begin{enumerate}
\item[1.]
خطای تجزیه شور: اگر تجزیه‌های شور
$A$
و
$B$
به صورت دقیق محاسبه شوند، خطای ناشی از این مرحله ناچیز است.
\item[2.]
خطای حل سیستم مثلثی: حل سیستم مثلثی
$ R_A Y - Y R_B = \tilde{C}$
نیز به صورت پایدار انجام می‌شود، زیرا این سیستم به خوبی شرط‌بندی شده است.
\end{enumerate}
با ترکیب این عوامل، خطای نهایی به صورت زیر تخمین زده می‌شود،
$$\frac{\| \hat{X} - X^* \|_F}{\| X^* \|_F} \leq \kappa \cdot \epsilon,$$
که در آن
$\kappa$
عدد شرط مساله و 
$\epsilon$
خطای ماشین است.
\hfill\fbox{}
\end{proof}