%\subsection{روش ترمیم تصویردودویی: معادله‌ی کان-هیلیارد}
%روش‌های ترمیم تغییراتی مرتبه‌‌ی دوم (که در آن مرتبه‌ی روش به وسیله‌ی مشتق بالاترین مرتبه در معادله‌ اویلر-لاگرانژ آن تعیین می‌شود.) مانند ترمیم 
%$TV$
%(
%\cite{chan1},\cite{chan2},\cite{rudinn}
%را ببینید.) دارای اشکالاتی اعم از اتصال لبه‌ها در فواصل زیاد یا انتشار هموار خطوط سطح در دامنه‌ی ‌آسیب دیده هستند. برای حل هر دو مشکل روش‌های ترمیم مرتبه‌ی سوم و چهارم برای ترمیم تصویر پیشنهاد شده است. یک رویکرد مرتبه‌ی سوم تغییراتی برای ترمیم تصویر روش انتشار مبتنی بر انحنا 
% \LTRfootnote{curvature Driven Diffusion}

%$CDD$
%است
%\cite{chan2}
%. در حالی که اصل اتصال در ادراک بصری را درک می کنیم، (یعنی خطوط سطح نیز در دامنه های بزرگ ناحیه‌ی ترمیم به هم متصل می شوند)، خطوط سطح همچنان به صورت خطی درون یابی می شوند (که ممکن است منجر به گوشه هایی در خطوط تراز در امتداد مرز دامنه ترمیم شود). این امر چان،
 %\LTRfootnote{Chan}
%کانگ و 
% \LTRfootnote{Kang}
%شن 
% \LTRfootnote{Shen}
%\cite{chan3}
%را به بررسی مجدد روش ماسنو
% \LTRfootnote{Masnou}
%و مورل
% \LTRfootnote{Morel}
%\cite{masnou}
%در مورد درونیابی تصویر براساس انرژی الاستیکای اویلر ترغیب کرد. آنها 
%$PDE$
%ترمیم الاستیکای مرتبه‌ی چهارمی را ارائه کردند که خطوط تراز با مینیمم کردن انتگرال در طول آنها و مجذور انحنای آنها در ناحیه‌ی ترمیم به هم متصل می شوند. این کار منجر به اتصال هموار خطوط تراز در فواصل زیاد می‌شود و نه تنها مقادیر خاکستری تصویر در مرز دامنه‌ی ترمیم، بلکه گرادیان تابع تصویر یعنی جهت خطوط سطح نیز مشخص می شود. علاوه بر این ترکیبی از روش‌های مرتبه‌ی دوم و بالاتر نیز وجود دارد
\cite{lysaker}.
%به طور مثال این تکنیک قادر است لبه‌ها رابه دلیل وجود جمله‌ی مرتبه‌ی دوم حفظ کند و در عین حال از اثر پلکانی در مناطق هموار جلوگیری کند. چالش اصلی در ترمیم تصویر با مدل‌های مرتبه‌ی بالاتر ، یافتن مدل‌های ساده اما موثر و همچنین طرح‌های گسسته‌ی پایدار سریع برای حل عددی آنهاست. برای انجام این کار نیز تجزیه و تحلیل ریاضی این رویکردها نکته‌ی مهمی است که به ما در مورد حل‌پذیری و همگرایی معادله‌ی مربوطه می‌گوید. این تجزیه و تحلیل می‌تواند بسیار سخت باشد زیرا اغلب این معادلات اصل ماکسیمم یا مینیمم را نمی‌پذیرند و گاهی اوقات حتی یک فرمول تغییراتی ندارند. \\
%یک رویکرد جدید در الگوریتم‌های ترمیم مرتبه‌ی چهارم، ترمیم تصاویر دودویی با استفاده از معادله‌ی اصلاح شده‌ی کان-هیلیارد
% \LTRfootnote{Chan-Hilliard}
%است که توسط برتوزی
% \LTRfootnote{Bertozzi}،
%اسدقلو
% \LTRfootnote{Esedoglu}
%و گیلت
 %\LTRfootnote{Gillette}
%در 
%\cite{bertozzi1}
%و
%\cite{bertozzi2}
%ارائه شده است:
%\begin{equation}
%\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta(-\epsilon \Delta u+\frac{1}{\epsilon}F'(u))+\lambda(x)(f-u) \qquad in \Omega \label{e3.22}.
%\end{equation}
%که
%$\lambda$
% به صورت 
 %\eqref{e2.3}
%تعریف می ‌شود و تابع 
%$F(u)$
%یک پتانسیل غیرخطی با حفره‌های مربوط به مقادیر  
%$u$
است. چون در اینجا از تصاویر دودویی استفاده می‌کنیم پس 
%$u=0$
یا
%$u=1$
است. برای
%$F(u)$
توابع مختلفی را می‌توان در نظر گرفت که ما در اینجا
%$F(u)=u^2(u-1)^2$
در نظر می‌گیریم. معادله‌ی کان-هیلیارد اصلی به صورت 
%\begin{equation*}
%\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta(-\epsilon \Delta u+\frac{1}{\epsilon}F'(u)),
%end{equation*}
تعریف می‌شود، که یک شار گرادیان با استفاده از نرم 
%$H^{-1} $
برای انرژی کان-هیلیارد (انرژی گینزبرگ-لاندو
% \LTRfootnote{Ginzburg-Landau}
%)
%\begin{equation}
%E_{CH}(u)=\int_{\Omega}(\frac{\epsilon}{2}\vert \nabla u\vert ^2+\frac{1}{\epsilon}F(u))\,dx, \label{e3.23}
%\end{equation}
استد ر حالیکه جمله‌ی باقیمانده در 
%\eqref{e3.22}
یک شار گرادیان تحت نرم
%$L^2$
برای جمله‌ وفاداری است
 %\cite{bertozzi2}:
%\begin{equation}
%E_{F}(u)=\frac{\lambda}{2}\int_{\Omega \setminus D}(u-f)^2\,dx, \label{e3.24}
%\end{equation}
مجموع دو انرژی 
%\eqref{e3.23}
و
%\eqref{e3.24}
انرژی کان-هیلیارد اصلاح شده نامیده می‌شود. معادله‌ی کان-هیلیارد یک 
$PDE$
نسبتا ساده‌ی مرتبه‌ی چهارمی است که به جای مدل‌های پیچیده تر شامل انحنا استفاده می‌شود. 





































 
 
  جدیدترین رویکردها برای ترمیم غیر بافت بر اساس معادلات دیفرانسیل جزئی  و حساب تغییرات است.
 
 
 



\section{رویکرد تغییراتی}
مدل‌های  تغییراتی که در اصل برای حذف نویز، محو کردن و تقسیم‌بندی تصویر استفاده می‌شدند،برای مسائل ترمیم نیز کاربرد دارند. الگوریتم‌های تغییراتی  بر روی کل دامنه‌ی تصویر اعمال می‌شوند. این روش این مزیت را دارد که می‌تواند کار ترمیم را برای چندین ناحیه‌ی آسیب دیده  و  حذف نویز احتمالی راخارج از ناحیه‌ی ‌ترمیم به‌طور همزمان انجام دهد. شکل کلی چنین رویکرد ترمیم تغییراتی به صورت  
\begin{equation}
\widehat{u}(X)=\argmin \limits_{u \in H_1}\left( J(u)=R(u)+\frac{1}{2}\Vert \lambda(f(x)-u(x))\Vert^{2}_{H_2}\right), 
\end{equation}
که
$f \in H_{2}$
(یا 
$f \in H_{1}$
که به رویکرد بستگی دارد.) تصویر آسیب دیده‌ و 
$\widehat{u} \in H_{1}$
تصویر ذخیره شده است. 
$H_{1}$
و
$ H_{2}$
فضاهای باناخ روی 
$\Omega$
هستند و 
$R(u)$
به اصطلاح عبارت منظم ساز نامیده می‌شود. تابع 
$\lambda$
به صورت زیر تعریف می‌شود:
\begin{equation}\label{e2.3}
\lambda =\left\{
\begin{array}{lr}
\lambda_0   & \text{در $\Omega \setminus  D$ } \\ 
0  & \text{در $D$}.
\end{array}\right.
\end{equation}  
بسته به انتخاب عبارت منظم ساز و فضاهای باناخ رویکردهای مختلفی توسعه یافته‌اند.




این رویکرد شامل مینیمم کردن انرژی است. در واقع، سطح به عنوان یک نتیجه از مساله‌‌ی بهینه‌سازی با محدودیت‌ها در نظر گرفته می‌شود و شامل دو جمله است: یکی جمله‌ی انرژی برای شکل سطح و دومی جمله‌ی وفاداری 
\LTRfootnote{Fidelity term}
که سطح را وادار می‌کند تا در محدودیت‌ها صدق کند. در اینجا به چند مدل از رویکرد تغییراتی می‌پردازیم:

\\
\subsection{روش انرژی}
در طی فرایندهای شکل تحریری، انتقال یا ضبط، توسط پدیده‌هایی تصاویر خراب می‌شوند. هدف توضیح روش‌هایی است که باعث حذف یا کاهش اثرات این تخریب‌ها می‌شود، مهم است. که یک مدل تخریب، تا حد امکان نزدیک به واقعیت باشد. به این نوع مدل‌های پردازش ترمیم می‌گوییم.

یک مدل رایج به‌صورت زیر است
فرض کنید
$u: \Omega\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$
یک تصویر اصلی که صحنه واقعی را توصیف می‌کند و
$u_{0}$
تصویر مشاهده شده در همان صحنه باشد. (یعنی یک تخریب از
$u$)،
در نظر می‌گیریم:
\begin{equation}\label{e3.1}
u_{0}=Ru+\eta,
\end{equation}
که
$\eta$
یک نویز گاوسی افزودنی سفید است و
$R$
یک عملگر خطی است که تاری را نشان می‌دهد (معمولا ترکیب). با توجه به
$u_{0}$،
مساله، بازسازی
$u$
با در نظر گرفتن
\eqref{e3.1}
است. همان‌طور‌که خواهیم دید، مساله بدوضع است و فقط قادر به محاسبه تقریبی از
$u$
هستیم.

\subsection*{مساله معکوس}
مدل تخریب
\eqref{e3.1}
را در نظر بگیرید. بازیابی
$u$
از
$u_{0}$
با در نظر گرفتن
\eqref{e3.1}
یک نمونه معمولی از مساله معکوس است. با فرض این‌که
$\eta$
یک نویز گاوسی سفید است و با حل مساله کمترین مربعات می‌توان تقریب
$u$
را پیدا کرد:
\begin{equation}\label{3.2}
\inf_{u}\int_{\Omega}\left|u_{0}-Ru\right|^{2}\ dx,
\end{equation}
که
$\Omega$
دامنه تصویر است و
$u$
و
$u_{0}$
متغیرهای گسسته در
$R^{M}$
هستند که
$R$
یک ماتریس
$M\times M$
است و
$| \cdot |$
نرم اقلیدسی را نشان می‌دهد. اگر یک مینیمم
$u$
از
\eqref{3.2}
وجود داشته باشد، لزوما معادله زیر تایید می‌شود:
\begin{equation}\label{3.3}
R^*u_{0}-R^*Ru=0,
\end{equation}
که
$R^*$
ماتریس الحاقی 
$R$
است. حل مساله
\eqref{3.3}
در حالت کلی بدوضع است.
$R^*R$
همیشه یک به یک نیست و حتی اگر
$R^*R$
یک به یک باشد، مقادیر ویژه آن ممکن است ناچیز باشد و باعث ناپایداری عددی شود. بنابراین باید مساله
\eqref{3.3}
را منظم کنیم.
\subsection*{منظم‌سازی مساله}
یک روش کلاسیک برای غلبه بر مساله مینیمم‌سازی بدوضع اضافه کردن یک عبارت منظم‌ساز است. این ایده توسط تیخونووc
و آرسمه
\LTRfootnote{Arsemh}
در سال 1977 معرفی شد. آن‌ها مساله مینیمم‌سازی زیر را در نظر گرفتند:
\begin{equation}\label{e3.4}
F(u)=\int_{\Omega}\left|u_{0}-Ru\right|^{2}\ dx+\lambda\int_{\Omega}\left|\triangledown u\right|^{2}\ dx,
\end{equation}
جمله اول وفاداری به داده‌ها و جمله دوم هموار کننده هستند. به عبارت دیگر، به دنبال بهترین
$u$
هستیم که بهترین انطباق را با داده‌ها داشته باشد تا گرادیان آن کم شود (نویز حذف شود). پارامتر
$\lambda$
یک ثابت وزنی مثبت است. برای این مساله، فضای تابعکی که هر دو جمله خوش تعریف باشد، فضای سوبولوف است:
\begin{equation*}
W^{1,2}(\Omega)=\left\{u\in L^{2}(\Omega);~\triangledown u\in L^{2}(\Omega)^{2}\right\}.
\end{equation*}
تحت فرضیات مناسب روی
$R$،
مساله
$\inf\left\{F(u),\ u\in W^{1,2}(\Omega)\right\}$
یک جواب یکتا دارد که توسط معادله اویلر-لاگرانژ مشخص می‌شود:
\begin{equation}\label{e3.5}
R^*Ru-R^*u-\lambda \triangle u=0,
\end{equation}
با شرط مرزی نیومن
$$\frac{\partial u}{\partial N}=0 \,\,\, \partial\Omega,$$
($N$
بردار نرمال خارجی
$\partial\Omega$
است.)
از آنجایی که عملگر لاپلاسین دارای خواص هموار کننده همسانگرد و بسیار قوی است و لبه‌ها را حفظ نمی‌کند در نتیجه جواب حاصل از این معادله نمی‌تواند کاندیدای  خوبی برای مساله بازسازی باشد (شکل
\ref{fig16}
را ببینید.).
\begin{figure}[!ht] 
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig16.jpg}
\caption{ بازسازی تصویر نویز دار با مینیمم سازی  \ref{e3.4}: لبه ها حذف شدند }
\label{fig16}
\end{figure}
\\
به‌طور معادل، این هموار کردن بیش از حد را می‌توان با
\eqref{e3.4}
نیز توضیح داد. نرم
$L^{p}$
با
$p=2$
گرادیان، نویز را حذف می‌کند اما متاسفانه گرادیان‌های مربوط به لبه‌ها را بسیار کوچک می‌کند.
پس باید 
$p$
را کم کرد تا لبه‌ها تا حد ممکن حفظ شوند. یکی از اولین کارها در این راستا توسط رودین\LTRfootnote{Rudin}،
اوشر\LTRfootnote{Osher}
و
فاطمی\LTRfootnote{Fatemi}
\cite{214,215}
انجام شد که به‌جای نرم
$L^{2}$
از نرم
$L^{1}$
برای گرادیان استفاده کردند و آن‌ را تغییر کل نامیدند.
\\
 برای مطاله‌ی دقیق تر تاثیر عبارت هموارسازی، انرژی زیر را در نظر بگیرید
\cite{20,245}:
\begin{equation}\label{e3.6}
E(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\left| u_{0}-Ru \right|^{2} \ dx+\lambda\int_{\Omega}\phi\left(\left|\triangledown u\right|\right)\ dx.
\end{equation}

فرض کنید
$E(u)$
دارای یک نقطه مینیمم
$u$
باشد. در این‌صورت معادله اویلر-لاگرانژ آن به صورت زیر نوشته می‌شود:
\begin{equation}\label{e3.7}
R^*Ru-\lambda \ div\left(\frac{\phi\left(\left|\triangledown u\right|\right)}{\left|\triangledown u\right|}\triangledown u\right)=R^{*}u_{0},
\end{equation}
که با باز کزدن عبارت دیورژانس، می‌توان معادله‌ی 
(\ref{e3.7})
را به صورت بسط یافته نوشت. همچنین می‌خواهیم نشان دهیم که معادله
(\ref{e3.7})
 را می‌توان با استفاده از ساختارهای تصویر محلی تجزیه کرد، در واقع همان جهات مماس و نرمال به خطوط ایزووفوت
 \LTRfootnote{Isophote}
(خطوطی که شدت در آنها ثابت می ماند) است.

\begin{figure}[!ht] 
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig17.jpg}
\caption{ جهت‌های مماس و نرمال}
\label{fig17}
\end{figure}

به طور دقیق‌تر، برای هر نقطه‌ی 
$x$
که
$\vert \nabla u(x) \vert \neq 0$
می‌توانیم تعریف کنیم بردارهای 
$N(x)=\frac{\nabla u(x)}{\vert \nabla u(x)\vert}$
و
$T(x)$
که
$\vert T(x) \vert=1$
متعامد هستند. با نوشتن مشتقات به فرم معمول 
$u_{x_1x_2},u_{x_2},u_{x_1}, \ldots$
برای مشتقات اول و دوم معادله‌ی 
(\ref{e3.7})
را می‌توان به صورت زیر بازسازی کرد:
\begin{equation}
R^*Ru-\lambda \left( \frac{\phi' (\vert \nabla u\vert)}{\vert \nabla u \vert} u_{TT}-\phi'' (\vert \nabla u\vert) u_{NN}\right)=R^*u_0, \label{e3.8}
\end{equation}
که
$u_{TT}$
و
$u_{NN}$
به ترتیب مشتقات دوم 
$u$
در جهت
$T$
و در جهت
$N$
هستند:
\begin{align*}
u_{TT}&= ^tT\nabla^2 u T=\frac{1}{\vert \nabla u \vert^2}(u^2_{x_1}u_{x_2}_{x_2}+u^2_{x_2}u_{x_1}_{x_1}-2u_{x_1}u_{x_2}u_{x_1}_{x_2})\\
u_{NN}&= ^tN\nabla^2 u N=\frac{1}{\vert \nabla u\vert^2}(u^2_{x_1}u_{x_1}_{x_1}+u^2_{x_2}u_{x_2}_{x_2}-2u_{x_1}u_{x_2}u_{x_1}_{x_2})
\end{align*}
در حقیقت، تجزیه‌ی عبارت دیورژانس به‌عنوان مجموع وزنی دو مشتق جهت‌دار در امتداد 
$T$
و 
$N$
می‌تواند برای اکثر عملگر‌های انتشار کلاسیک انجام شود (منبع 153). این کار باعث می‌شود تا به وضوح تاثیر عملکرد عملگرها را در جهت‌های 
$T$
و 
$N$
مشاهده کنید و همچنین برای تعیین نحوه انتخاب تابع
$\phi$
نیز مفید است.  در نتیجه به این موضوع می‌پردازیم که چگونه می‌توان تابع
$\phi$
را انتخاب کرد. ما باید ویژگی‌هایی از تابع
$\phi$
 را پیدا کنیم تا جواب مساله مینیمم سازی به تصویر اصلی نزدیک‌تر باشد، این ویژگی‌ها عبارت است از:.
\\
1)~
در مکان‌هایی که تغییر شدت ضعیف است (گرادیان کم) و می‌خواهیم هموار‌سازی را در هر جهتی ترغیب کنیم. با فرض این‌که عملکرد
$\phi$
منظم باشد، در اینصورت شرایط هموار کردن همسانگردی 
 \LTRfootnote{Isotropic}
با اعمال زیر حاصل می‌شود:
\begin{equation}\label{e3.9}
\phi'(0)=0,~~\lim_{s\rightarrow 0^{+}}\frac{\phi'(s)}{s}=\lim_{s\rightarrow 0^{+}}\phi''(s)=\phi''(0)>0.
\end{equation}
بنابراین در نقاطی
که
$\left|\triangledown u\right|$
کوچک است، معادله‌ی
\eqref{e3.8}
به
\begin{equation*}
R^*Ru-\lambda\phi''(0)(u_{TT}+u_{NN})=R^* u_{0},
\end{equation*}
تبدیل
می‌شود. از آنجایی که 
$u_{TT}+u_{NN}=\triangle u$:
\begin{equation}\label{e3.10}
R^*Ru-\lambda\phi''(0)\triangle u=R^* u_{0}.
\end{equation}
در نتیجه در این نقاط،
$u$
به‌طور محلی در
\eqref{e3.10}
صدق می‌کند که دارای خواص منظم کننده قوی در همه جهات است.
\\
2)~
در یک همسایگی از یک لبه
$C$، 
تصویر دارای یک گرادیان قوی است. اگر بخواهیم این لبه‌ها را حفظ کنیم، بهتر است در امتداد
$C$
یعنی در جهت
$T$
حرکت کنیم. برای این کار کافیست در معادله‌ی 
\eqref{e3.7}
برای گرادیان‌های قوی، ضریب 
$u_{NN}$
را از بین ببریم و همچنین فرض کنیم 
$u_{TT}$
صفر نمی‌شود:
\begin{equation}\label{e3.11}
\lim_{s\rightarrow +\infty}\phi''(s)=0,~\lim_{s\rightarrow +\infty}\frac{\phi'(s)}{s}=\beta >0.
\end{equation}
اما این دو شرط سازگار نیستند. برای مثال
$\phi''(s)$
و
$\frac{\phi'(s)}{s}$
هر دو در 
$s\rightarrow +\infty$
همگرا به صفر هستند، اما با سرعت متفاوت:
\begin{equation}\label{e3.12}
\lim_{s\rightarrow +\infty}\phi''(s)=\lim_{s\rightarrow +\infty}\frac{\phi'(s)}{s}=0,\quad \lim_{s\rightarrow +\infty}\frac{\phi''(s)}{\frac{\phi'(s)}{s}}=0.
\end{equation}
توجه داشته باشید که بسیاری از توابع مانند
$\phi$
 را می‌توان یافت که در شرایط
\eqref{e3.9}-\eqref{e3.12}
صدق می‌کنند. به‌طور مثال تابع
\linebreak
$\phi(s)=\sqrt{1+s^{2}}$
که تابع مینیمال ابر‌سطح
\LTRfootnote{hypersurface minimal function}
نامیده می‌شود.\\
نکته: مفروضات 
\eqref{e3.9}-\eqref{e3.12}
 در مورد 
 $\phi$
  کیفی هستند. آنها به منظور توصیف شرایط منظم وضع شده اند. به طور طبیعی، آنها برای اطمینان از اینکه مدل از نظر ریاضی خوش وضع  هستند کافی نیستند. فرضیه های دیگری مانند تحدب، رشد خطی ضروری هستند. 
\subsection*{وجود و منحصر به فرد بودن جواب مساله مینیمم سازی}
این بخش به مطالعه‌ی ریاضی 
\begin{equation}\label{e3.13}
inf\left\lbrace E(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega} \phi(\vert \nabla u\vert)dx\right\rbrace 
\end{equation}
اختصاص دارد. برای استفاده از روش مستقیم محاسبات تغییرات، باید چند فرضیه حداقل را در مورد 
$\phi$
در نظر بگیریم:
\\
1)~
$\phi$
تابعی محدب، غیر کاهشی از 
$\mathbb{R}^+$
به
$\mathbb{R}^+$
با 
$\phi(0)=0$
(بدون از دست دادن کلیت)
\\
2)~
$\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}\phi(s)=\infty$.\\
نکته: این شرط رشد اخیر نباید خیلی قوی باشد زیرا نباید گرادیان‌های قوی، یعنی تشکیل لبه ها را جریمه کند. بنابراین فرض می کنیم که
$\phi$
 حداکثر به صورت خطی رشد کند.
\\
3)~
دو ثابت 
$c$
و
$b\geqslant 0$
وجود دارند به طوریکه 
$ \forall s \geqslant 0 , cs-b \leqslant \phi(s) \leqslant cs+b$.\\
نکته: برای بازیابی و حفظ لبه‌ها در یک تصویر، مطمئناً ترجیح داده می‌شود که یک شرط رشد از نوع
$\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}\phi(s)=\infty$
 اعمال شود. در این مورد، عبارت 
$\phi(\vert \nabla u\vert)$
 در
 $E(u)$
  تشکیل گرادیان های قوی را جریمه نمی کند زیرا "هیچ هزینه ای ندارد".  متأسفانه، همانطور که می خواهیم که 
$\phi$
  رفتار درجه دوم نزدیک به صفر داشته باشد، پس لزوما 
$\phi$
 باید یک شکل غیر محدب داشته باشد، که یک ویژگی نامطلوب است. \\
طبق فرض سوم تابع
$\phi$
،فضایی که می‌خواهیم جواب را روی آن جستجو کنیم به صورت
\begin{equation*}
V=\left\lbrace  u \in L^2(\Omega); \nablau \in  L^1(\Omega)^2\right\rbrace, 
\end{equation*}
است. متاسفانه این فضا انعکاسی نیست. به ویژه، ما نمی‌توانیم در مورد مینیم سازی دنباله‌هایی که در 
$V$
کراندر هستند اظهار نظر کنیم. با این حال، یک نکته جالب این است که دنباله‌های کراندار در 
$V$
در 
$BV$
نیز کراندارند. بنابراین برای توپولوژی
$BV-w*$
فشرده هستند.هنوز، انرژی 
$E$
برای این توپولوژی نیمه پیوسته پایین تر نیست...در این مورد، انرژی آرام
\LTRfootnote{Relaxed energy}
 را محاسبه می‌کنیم.   
\begin{theorem}
تابعک آرام
\eqref{e3.13}
 برای توپواوژی 
$BV-w*$
بصورت زیر تعریف می‌شود:
\begin{align}\label{e3.14}
\bar E(u)&=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega} \phi(\vert \nabla u\vert)dx \\ \nonumber
&+\lambda c \int_{S_{u}}(u^+-u^-)d \mathcal{H}^1+\lambda c \int_{\Omega -S_{u}}\vert Cu\vert
\end{align}
که
$c=\lim\limits_{s \rightarrow \infty}\frac{\phi(s)}{s}$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
 فرض کنید 
$R:L^2(\Omega)\rightarrow L^2(\Omega)$
یک عملگر پیوسته باشد و 
$R . 1\neq 0$
یعنی 
$R$
ثابت‌هایی را که وادارندگی-
$BV$
از
$\bar E(u)$
را تضمین می‌کند، از بین نمی‌برد و طبق فرضیاتی که برای تابع 
$\phi$
بیان شد ، مساله مینیمم سازی 
\begin{equation} \label{e3.15}
\inf_{u \in BV(\Omega)}\bar E(u)
\end{equation}
که
$\bar E(u)$
توسط
\eqref{e3.14}
تعریف شد، جواب منحصربه فرد 
$u \in BV(\Omega)$
دارد.
\end{theorem}

\subsection*{تقریب عددی}
در این مرحله می‌خواهیم جواب مساله  
\eqref{e3.15}
را برای بدست آوردن یک تقریب عددی مشخص کنیم. اگر بخواهیم مستقیما معادلات اویلر-لاگرانژ را بنویسیم، دشواری در تعریف تغییرات
$BV(\Omega)$
 به دلیل وجود اندازه ها است. برای حل این مشکل، می‌توانیم یک انرژی «بسته» را در نظر بگیریم که معادله اویلر-لاگرانژ برای آن آسان‌تر اجرا می‌شود. این را می توان از طریق همگرایی گاما انجام داد. ایده کلی به شرح زیر است (همچنین به شکل 
 \ref{fig18}
  مراجعه کنید):
\\
1)~
ما دنباله‌ای از انرژی
$E_\epsilon$
را می‌سازیم به طوری که برای هر 
$\epsilon >0$،
مساله مینیمم سازی مربوطه یک جواب  مینیمم یکتای
$u_\epsilon$
در فضای سوبولف
$W^{1,2}(\Omega)$
داشته باشد. سپس، از طریق همگرایی گاما ثابت می‌کنیم که 
$u_\epsilon$
در
$L^1(\Omega)$
-قوی به مینیمم 
$\bar{E}(u)$
همگراست.
\\
2)~
سپس، برای
$\epsilon >0$
 ثابت، یک طرح عددی مناسب به نام الگوریتم نیمه-درجه دوم 
 \LTRfootnote{half-quadratic algorithm}
 را پیشنهاد می‌کنیم و همگرایی آن را نیز ارائه می‌دهیم. ایده این است که یک متغیر اضافی را معرفی کنیم که متغیر دوگانه نیز نامیده می‌شود، به طوری که تابع گسترش یافته 
 $J_\epsilon (u,b)$
 دارای مینیمم مقدار 
 $E_\epsilon (u)$
 باشد. به‌طور دقیق‌تر، نشان می‌دهیم که دنباله مینیمم‌سازی 
 $J_\epsilon (u_n,b_n)$
 همگرا است و 
 $u_n$
 برای توپولوژی
$L^1(\Omega)$
-قوی به 
$u_\epsilon$
همگراست.
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig18.jpg}
\caption{مروری بر رویکرد}
\label{fig18}
\end{figure}

این روش در اصل با روش تغییرات کل
$\phi(s)=s$
توسط چمبل 
 \LTRfootnote{Chambolle}
 و لیونس
  \LTRfootnote{Lions}
( 64) پیشنهاد شده است. سپس به توابع محدب اندازه ها بسط داده شده است و برای چندین مساله اعمال شده است. به طور کلی این روش برای تقریب اصطلاح هموارسازی که معمولاً نقطه دشواری آن نیز هست به کار می‌رود. اجازه دهید ما این رویکرد دو مرحله ای را به تفصیل ارائه دهیم.
\subsubsection*{تقریب درجه‌ی دوم}
برای تابع 
$\phi$
که در فرض های ذکر شده بخش(3.2.3) صدق می‌کند تابع 
$\phi _ \epsilon$
را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\begin{equation*}
\phi _ \epsilon(s) =\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{\phi'(\epsilon)}{2 \epsilon}s^2+\phi(\epsilon)-\frac{\epsilon \phi'(\epsilon)}{2}  & \text{اگر} ~~0\leqslant s \leqslant \epsilon \\ 
\phi (s)  & \text{اگر}~~ \epsilon \leqslant s \leqslant \frac{1}{\epsilon}\\
\frac{\epsilon \phi'(\frac{1}{\epsilon})}{2 }s^2+\phi(\frac{1}{\epsilon})-\frac{\phi'(\frac{1}{\epsilon})}{2 \epsilon}  &\text{اگر} ~~s \geqslant \epsilon.
\end{array}\right.
\end{equation*} 
به ازای هر 
$\epsilon $،
$\phi_ \epsilon \geqslant 0$
 و به ازای هر
$s$،
$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\phi _\epsilon (s)=\phi(s)$
را داریم. حال تابعک
$E_\epsilon$
را به صورت  زیر تعریف می‌کنیم:
\begin{equation}
E_{\epsilon}(u) =\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega} \phi_\epsilon(\vert \nabla u\vert)dx    & \text{اگر} ~~ u \in W^{1,2}(\Omega)\\ 
+\infty  &\text{در غیر این صورت}.
\end{array}\right.
\end{equation} 
\begin{theorem} \label{gh3.3}
برای هر 
$\epsilon >0$
تابعک 
$E_\epsilon$
یک مینیمم یکتای 
$u_\epsilon$
در
$W^{1,2}(\Omega)$
دارد.
\end{theorem}

\begin{theorem}
دنباله‌ی 
$u_\epsilon$
از قضیه 
\ref{gh3.3}
در
$L^1(\Omega)$
-قوی به مینیمم یکتای 
$u$
از
$\bar{E}(u)$
همگراست و 
$E_\epsilon (u_\epsilon)$
به
$\bar{E}(u)$
همگراست.
\end{theorem}

\subsubsection*{مینیمم سازی نیمه- درجه‌دوم}
حال، محاسبه عددی
$u_ \epsilon$
 باقی مانده است. برای این کار، می‌توانیم از معادله اویلر-لاگرانژ  
 $u_ \epsilon$
  استفاده کنیم:
\begin{equation}\label{e3.17}
R^*Ru- div \left( \frac{\phi'(\vert \nabla u_\epsilon \vert)}{\vert \nabla u_\epsilon \vert} \right)=R^*u_0. 
\end{equation}
معادله‌ی
\ref{e3.17}
 یک معادله غیرخطی است. برای غلبه بر این مشکل، الگوریتم نیمه درجه دوم را بر اساس نتیجه "دوگانگی" زیر پیشنهاد می کنیم [72، 115].
\begin{theorem}\label{gh3.5}
فرض کنید
$\phi:[0,+\infty [ \rightarrow [0,+ \infty[$
به طوری که 
$\phi(\sqrt{s})$
روی
$]0,+\infty$
مقعر
  \LTRfootnote{Concave}
و 
$\phi(s)$
غیر کاهشی هستند. فرض کنید 
$L$
و
$M$
به صورت 
$L=\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}\frac{\phi'(s)}{2s}$
و
$M=\lim\limits_{s\rightarrow 0}\frac{\phi'(s)}{2s}$
تعریف می‌شوند. در اینصورت یک تابع محدب و غیر کاهشی 
$\psi:]L,M]\rightarrow [\beta_1,\beta_2]$
به طوری که:
\begin{equation}\label{e3.18}
\phi=\inf\limits_{L\leqslant b \leqslant M}(bs^2+\psi(b))
\end{equation}
که
$\beta_1=\lim\limits_{s\rightarrow0^+}\phi(s)$
و
$\beta_2=\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}(\phi(s)-\frac{s\phi'(s)}{2})$.
علاوه بر این، برای هر
$s\geqslant 0$،
مقدار 
$b$
که با آن مینیمم 
\eqref{e3.18}
بدست می‌آید، برابراست با
$b=\frac{\phi'(s)}{2s}$.
متغیر اضافی 
$b$
معمولا متغیر دوگان نامیده می‌شود.
\end{theorem}
نکته: به این نکته‌ی جالب توجه کنید که قضیه‌ی 
\eqref{gh3.5}
برای توابه محدب و غیر محدب 
$\phi$
کاربرد دارد. اما، تابع 
$\psi$
در معادله‌ی 
\eqref{e3.18}
همیشه محدب است. ما در جدول 
\eqref{fig20}
 سه مثال از تابع 
$\phi$
 و توابع مربوط به آنها 
 $\psi$
  را فهرست می کنیم:
\begin{table}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig20.jpg}
\caption{مثال‌هایی از توابع$\phi$}
\label{fig20}
\end{table}
که اولین مورد اغلب تابع مینیمال ابرسطحی نامیده می شود. ستون آخر نسخه‌های مقیاس شده‌ی
$\frac{\phi'(s)}{s}$ 
را نشان می‌دهد که برای 
$s=1$
به 
$0.1$
نزدیک هستند (شکل
\eqref{fig21}
را نیز ببینید). این امکان مقایسه بهتر آنها را از نقطه نظر عددی فراهم می کند.
\\
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig21.jpg}
\caption{توابع
$\frac{\phi'(s)}{2s}$ 
با انتخاب‌های متفاوت 
$\phi$
(جدول \eqref{fig20} را ببینید)
}
\label{fig21}
\end{figure}
\\
حال، می‌خواهیم مشاده کنیم چگونه می‌توانیم
\eqref{gh3.5}
 را برای حل مساله زیر اعمال کنیم:
\begin{equation*}
\inf_{u}\left\lbrace  E_{\epsilon}(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega} \phi_\epsilon(\vert \nabla u\vert)\,dx  , ~~u \in W^{1,2}(\Omega)\right\rbrace .
\end{equation*}
فرض کنید
$\phi_{\epsilon}$
به طور کامل در فرضیات قضیه‌ی 
\eqref{gh3.5}
صدق کند. در اینصورت 
$L_\epsilon ,M_\epsilon$
و 
$\psi_\epsilon$
وجود دارند به طوری که:
\begin{equation*}
 E_{\epsilon}(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega} \inf_{L_\epsilon \leqslant b\leqslant M_\epsilon} (b \vert \nabla u \vert^2+ \psi_\epsilon(b))\,dx.
\end{equation*}
با فرض اینکه بتوانیم اینفیمم را نسبت به 
$b$
 برگردانیم و انتگرال بگیریم (این قابل توجیه است)، داریم:
\begin{align*}
\inf_{u}E_\epsilon(u)&=\inf_u\inf_b\left[ \frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega}(b \vert \nabla u \vert^2+ \psi_\epsilon(b))\,dx\right] \\
&=\inf_b\inf_u\left[ \frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega} (b \vert \nabla u \vert^2+ \psi_\epsilon(b))\,dx\right].
\end{align*}
اگر تابعک 
\begin{equation*}
J_\epsilon(u,b)= \frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert u_0-Ru \vert^2 \,dx+\lambda \int_{\Omega} (b \vert \nabla u \vert^2+ \psi_\epsilon(b))\,dx
\end{equation*}
را معرفی کنیم در اینصورت 
$J_\epsilon$
در
$u$
محدب است و برای هر 
$u$
ی ثابت در 
$W^{1,2}(\Omega)$
در
$b$
محدب است. البته 
$J_\epsilon(u,b)$
در زوج

$(u,b)$
محدب نیست. بناراین، این منجر به الگوریتم نیمه-درجه دوم متناوب توصیف شده در جدول 3.2 می شود. برای نشان دادن این موضوع، در شکل 
  \eqref{fig23}
 نتیجه به دست آمده را بر روی تصویر "ساختمان بورل" نشان می دهیم. دنباله توابع 
$b^n(x)$
 را می توان به عنوان نشانگر خطوط  حد فاصل  
 \LTRfootnote{Indicator of Contours}
مشاهده کرد. اگر 
$\phi$
 فرضیه های حفظ لبه را تأیید کند:
$\lim\limits_{s\rightarrow+\infty}\frac{\phi(s)}{2s}=0$
و
$\lim\limits_{s\rightarrow0^+}\frac{\phi(s)}{2s}=1$،
دراینصورت\\
\bullet
$ b^n(x)=0$
در اینصورت 
$x$
به خط حد  فاصل تعلق دارد.\\
\bullet
 اگر
$ b^n(x)=1$
در اینصورت 
$x$
به ناحیه‌ی همگن تعلق دارد.
\begin{figure}[ht]                   
  \centering
  \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[height=1\linewidth]{fig22}
    \subcaption{شکل نویزی اصلی}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[height=1\linewidth]{fig23}
    \subcaption{نتیجه}
  \end{minipage}\\
  \caption{نتیجه با مینیمم سازی نیمه -درجه دوم (مقایسه با شکل 
  \eqref{fig16}
  : نویز حذف می شود در حالی که ناپیوستگی ها حفظ می شوند) 
  }
  \label{fig23}
\end{figure}

بنابراین ویژگی این الگوریتم تکراری تشخیص و در نظر گرفتن ناپیوستگی های تصویر است. این  ویژگی در شکل 
\eqref{fig24}
 نشان داده شده است که در آن شرایط اولیه به صورت
$(u^0,b^0)\equiv (0,1)$
است. حال، تا جایی که به همگرایی الگوریتم مربوط می‌شود داریم:
\begin{theorem}
اگر 
$\phi_\epsilon$
و
$R$
در فرضیات تابع 
$\phi$
صدق کنند و اگر قضیه‌‌ی
\eqref{gh3.5}
برای تابع 
$\phi_\epsilon$
برقرار باشد دراینصورت دنباله‌ی 
$(u^n,b^n)$
در ضعیف-
$ \times L^\infty(\Omega) $
قوی-
$ L^ 2(\Omega)$
 همگراست. علاوه بر این 
$u^n$
به طور قوی در 
$L^2(\Omega)$
 (و به طور ضعیف در 
$W^{1,2}(\Omega)$
 )
 به جواب 
 $u_\epsilon$
 از
 $E_\epsilon$
 همگراست.
\end{theorem}


\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig24.jpg}
\caption{تصویری از رفتار الگوریتم نیمه-درجه دوم بر روی یک تصویر مصنوعی
$u_0$.
در سمت راست، چهار تکرار از الگوریتم نمایش داده می‌شود.
$(\small{n=0,1,4,15}).$
سطر اول 
 $u^n$
 و سطر دوم 
 $b^n$
 است. مقدار اولیه
$u^0\equiv0$ 
 و
$b^0\equiv0$ 
است. این تفسیر
$b$ 
 را به عنوان یک مشخص کننده‌ی لبه نشان می دهد که با تکامل زمان دقیق‌تر می‌شود.
}
\label{fig24}
\end{figure}

\subsection{روش 
$TV$
 و مدل‌های ترمیم برپایه‌ی انحنا}
اشاره کردیم که بسته به انتخاب منظم ساز و فضاهای باناخ رویکردهای مختلفی به دست می‌آیند. معروف ترین مدل، مدل تغییرات کل یا 
$TV$
است. برای این مدل 
$H_1=BV(\Omega)$
 (فضای توابع با تغییر کراندار) و 
$H_2=L^2(\Omega)$
است و مدل به صورت زیر تعریف می‌شود
\cite{rudin}
:
\begin{equation}
\min \limits_{u}\left\lbrace  \int_{\Omega}\vert \nabla u \vert \,dx+\int_{\Omega \setminus D}(u-f)^2 \,dx\right\rbrace. 
\end{equation}
عبارت منظم ساز
$TV$
به صورت
\begin{equation*}
\min \limits_{u} \int_{\Omega}\vert \nabla u \vert \,dx\Leftrightarrow \min\limits_{\Gamma_\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty}length(\Gamma_\lambda)\,d\lambda
\end{equation*}
بیان می‌شود که 
$\Gamma _\lambda=\left\lbrace  x\in \Omaga: u(x)=\lambda\right\rbrace $
خط تراز (مجموعه‌ای از نقاط تصویر با مقدار خاکستری ثابت)
 \LTRfootnote{Level lines}
برای مقدار خاکستری 
$\lambda$
است. بدین جهت، خطوط تراز از مرز ناحیه‌ی ترمیم از طریق کوتاهترین فاصله (درونیابی خطی) بهم متصل می‌شوند. زیرا طول بزرگ خطوط تراز با روند مینیمم سازی جریمه می‌شوند. بنابراین، مدل ترمیم 
$TV$
دارای اشکالاتی است از جمله نمی‌تواند لبه‌های بیش از حد بزرگ را بهم وصل کند و همچنین نمی‌تواند خطوط تراز را به ناحیه‌ی ترمیم به نرمی پخش کند. اکنون مدل الاستیکای اویلر
 \LTRfootnote{Euler's elastica}
دوبعدی با جمله‌ی انحنا در عبارت منظم ساز را در نظر می‌گیریم
\cite{shen}
:
\begin{equation*}
\min \limits_{u} \int_{\Omega}(a+b\kappa ^2)\vert \nabla u \vert \Leftrightarrow \min\limits_{\Gamma_\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty}a~length(\Gamma_\lambda)+b~curvature^2(\Gamma_\lambda)\,d\lambda
\end{equation*}
که
$\kappa=\nabla.\frac{\nabla u}{\vert \nabla u\vert}$
انحنای خطوط تراز 
$\Gamma_\lambda$
است. بدین معنا که نه تنها طول خطوط تراز بلکه انحنای آنها نیز جریمه می‌شوند. این مدل منجر به امتداد خطوط تراز در ناحیه‌ی ترمیم حتی در فواصل زیاد به صورت هموار می‌شود. بنابراین، مدل ترمیم الاستیکای اویلر نتیجه‌ی طبیعی تری نسبت به مدل ترمیم 
$TV$
می‌دهد. نمونه‌های دیگر عباتند از مدل کانتور فعال 
 \LTRfootnote{active contour}
براساس تقسیم بندی مامفورد و شاه
 \LTRfootnote{Mumford and Shah}
\cite{tsai}،
طرح ترمیم براساس مدل تصویر مامفورد- شاه- -اویلر
\cite{esedoglu}
 نیز وجود دارند. 

\subsection{مدل ترمیم مامفورد-شاه-اویلر}
ترمیم بر پایه‌ی مدل تصویر مامفورد-شاه به صورت 
\begin{equation}\label{e3.33}
J[u,\Gamma | f,D]=\frac{1}{2}\int_{\Omega} \lambda(u-f)^2\,dx+\frac{\nu}{2}\int_{\Omega\setminus D}\vert \nabla u\vert ^2 \,dx+\alpha H^{1}(\Gamma),
\end{equation}
که
$\Gamma$
مجموعه لبه را نشان می‌دهد، 
$H^1$
اندازه هاسدورف یک بعدی است ک مفهوم طول را برای منحنی ‌های منظم تعمیم می‌دهد. در حقیقت، در بسیاری موارد 
$H^1(\Gamma)$
با 
$length(\Gasmma)$
جایگزین می‌شود. بسیاری از مقالات و آزمایشات عددی
\cite{chan4,march1,tsai1}
قدرت مدل مامفورد-شاه را نشان می‌دهند، اما این روش دارای اشکالاتی است. منحنی های با طول کوتاهتر ارجح هستند. همانطور که در شکل 
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig28.jpg}
\caption{
مدل مامفورد-شاه به دلیل عدم تعادل جمله‌ی اطمینان در دامنه ترمیم، گوشه‌های مصنوعی قابل مشاهده را هنگام اعمال مدل مامفورد-شاه ایجاد می‌کند.
}
\label{fig28}
\end{figure}
 \eqref{fig28}
مشاهده می‌کنید، به دلیل عدم تعادل جمله‌ی اطمینان در دامنه‌ی ترمیم، مدل 
\eqref{e3.33}
برای تکمیل قسمت از دست رفته‌ی تصویر یک خط مستقیم ترسیم می کند زیرا طبق مدل مامفورد-شاه این کمترین هزینه را  دارد. که در نتیجه منجر به ایجاد دو لبه‌ی مصنوعی می‌شود.
\newpage
 شکل  
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig29.jpg}
\caption{
مدل مامفورد-شاه برای ترمیم با نسبت ابعاد کوچک l:w (چپ) به خوبی کار می‌کند، اما وقتی نسبت تصویر l بزرگ‌تر می‌شود، به خوبی عمل نمی‌کند (راست
}
\label{fig29}
\end{figure}
 \eqref{fig29}
نشان می‌دهد که با افزایش دامنه‌ی ترمیم 
$l$
نسبت به عرض شکل 
$w$
 مدل مامفورد- شاه جداشدن قسمت‌های دیگر شکل را ترجیح می‌دهد. \\
اگرچه این دو شکل از نظر جلوه‌های بصری متفاوت ترمیم هستند اما نارسایی مدل را نیز نشان می‌دهند. بنابراین مدل تصویر بعدی ما براساس مدل اویلرز-الاستیکا که مدل تصویر مامفورد-شاه-اویر نامیده می‌شود:
\begin{equation} \label{e3.34}
J[u,\Gamma | f,D]=\frac{1}{2}\int_{\Omega} \lambda(u-f)^2\,dx+\frac{\nu}{2}\int_{\Omega\setminus D}\vert \nabla u\vert ^2 \,dx+ +\int_{\Gamma}(\alpha+\beta \kappa^2)\,ds
\end{equation}
برای حل معادله‌ ی
\eqref{e3.34}
  می‌توان معادله‌ی اویلر-لاگرانژ آن را به صورت زیر دست آورد
\cite{shen, mumford, langer}:
\begin{equation}\label{e3.35}
\left[ \frac{\nu}{2}\vert \nabla u\vert ^2+\frac{\lambda}{2}(u-f)^2 \right] _{\Gamma}+\alpha \kappa -\beta \left( 2\frac{d^2\kappa}{ds^2}+\kappa^3\right) =0,
\end{equation}
که
$\kappa=\vert\frac{\overrightarrow{dt}}{ds}\vert$
انحنا را نشان می‌دهد
\subsection{روش 
$TV-H^{-1}$}
حال می‌خواهیم رویکرد ترمیم هان-هیلیارد را به تصاویر با مقادیر خاکستری تعمیم دهیم. این امر با استفاده از زیر گرادیان‌های تابعک 
$TV$  
در داخل شار محقق می‌شود که منجر به ترمیم ساختار با انحنای هموار مجموعه‌های ‌سطح می‌شود. این رویکرد جدید با یک نتیجه‌ی همگرایی گاما برای انرژی کان-هیلیارد ترغیب می‌شود. در حقیقت، دنباله‌ی تابعک‌ها برای رویکرد ترمیم کان-هیلیارد گسسته-زمین مناسب ، همگرای گاما به تابعک منظم شده با تغییرات کل برای آرگومان‌های دودویی 
$u=\chi_{E}$
است که 
$E$
زیر مجموعه‌ی اندازه پذیر بورل از 
$\Omega$
است. این موضوع در قضیه‌ی زیر با جزئیات بیشتر نشان داده می‌شود.
\begin{Theorem}
فرض کنید 
$f,v \in L^2{Omega}$
دو تابع داده شده و 
$\gamma>0$
یک پارامتر مثبت باشند. همچنین فرض کنید 
$\Vert .\Vert_{-1}$
نرم در
$H^{-1}$
و
$\vert Du \vert (\Omwga)$
تغییرات کل را نشان دهد. در اینصورت دنباله تابعک‌های
\begin{align*}
J^{\epsilon}(u,v)&=\int_{\Omega}(\frac{\epsilon}{2}\vert \nabla u\vert ^2+\frac{1}{\epsilon}F(u))\,dx+\frac{1}{2 \gamma}\Vert u-v\Vert^{2}_{-1}\\ \nonumber
&+\frac{\lambda_0}{2} \Vert u-\frac{\lambda}{\lambda_0}f-(1-\frac{\lambda}{\lambda_0})\Vert^2 ,\label{e3.25}
\end{align*}
وقتی که 
$\epsilon \rightarrow 0$
میل می‌کند،
$J^{\epsilon}(u,v)$
در توپولوژی 
$L^1(\Omega)$
همگرای گاما به 
\begin{equation*}
J(u,v)=TV(u)+\frac{1}{2 \gamma}\Vert u-v\Vert^2_{-1}+\frac{\lambda_0}{2} \Vert u-\frac{\lambda}{\lambda_0}f-(1-\frac{\lambda}{\lambda_0})\Vert^2_{-1},
\end{equation*}
است که
\begin{equation*}
TV(u) =\left\{
\begin{array}{lr}
C_{0}\vert Du \vert (\Omega)  & \text{اگر $u=\chi_E$ } \\ 
\infty  & \text{در غیر اینصورت}
\end{array}\right.
\end{equation*}  
که
$\chi_E$
تابع مشخصه‌ی تابع
$E$
را نشان می‌دهد و 
$C_0=2 \int^1_0 \sqrt{F(s)ds$.
\end{Theorem}\\
اکنون با گسترش تابعک تغییرات کل 
$TV(u)$  
از توابع
$u=0$
یا
$u=1$
به توابع
$\vert u \vert \leqslant 1$،
به رویکرد ترمیم برای تصاویر خاکستری به جای تصاویر دودویی می‌رسیم.این رویکرد جدید ترمیم
$TV-H^{-1}$
نامیده می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:
\begin{equation} \label{e3.25}
u_t=\delta p+\lambda(f-u),\qquad p \in \partial TV(u)
\end{equation}
با
\begin{equation}\label{e3.26}
TV(u) =\left\{
\begin{array}{lr}
\vert Du \vert (\Omega)  & \text{اگر
$\vert u \vert \leqslant 1$
تقریبا همه جا در 
$\Omega$
 } \\ 
\infty  & \text{در غیر اینصورت}
\end{array}\right.
\end{equation}
که دامنه‌‌ی ترمیم
$D$
و تابع مشخصه‌ی 
$\lambda(x)$
مانند معادله‌ی کان-هیلیارد تعریف می‌شود.
$\partial TV(u) $
که زیر دیفرانسیل تابعک
$TV(u) $
است، به صورت 
\begin{equation*}
\partial TV(u)=\left\lbrace p \in X^*\vert \langle u-v,p\rangle \leqslant TV(v)-TV(u), \forall u,v \in X \right\rbrace  ,
\end{equation*}
تعریف می‌شود. کران دار بودن 
$L^\infty$
در تعریف تابع 
$TV$
\eqref{e3.26}
کاملا طبیعی است زیرا ما فقط تصاویر دیجیتالی 
$u$
ای را در نظر می‌گیریم که مقدار خاکستری آنها با 
$[-1,1]$
مقیاس می‌شوند
\cite{burger}.\\
شکل مشابهی از رویکرد
$TV-H^{-1}$
در زمینه‌ی تجزیه و بازسازی تصاویر خاکستری ظاهر شده بود(
\cite{lieu}،\cite{osher1}
و
\cite{vese}
را ببینید.). علاوه بر این، برتالمیو و همکارانش در 
\cite{bertalmio1}
یک کاربرد از مدل 
\cite{vese}
برای ترمیم تصویر پیشنهاد کردند. برخلاف رویکرد ترمیم
\eqref{e3.25}، 
محققان در 
\cite{bertalmio1}
فقط از شکل متفاوتی از رویکرد
$TV-H^{-1}$
برای تجزیه‌ی تصویر به کارتون و بافت قبل از فرآیند ترمیم استفاده کردند که با روش ارائه شده در 
\cite{bertalmio2}
انجام شد. قضیه‌‌ی زیر وجود جواب 
$TV-H^{-1}$
را بیان می‌کند.
\begin{Theorem}
فرض کنید 
$f \in L^{2}(\Omega)$
باشد. در اینصورت معادله‌ی 
\begin{equation*} 
u_t=\delta p+\lambda(f-u),\qquad p \in \partial TV(u),
\end{equation*}
\end{Theorem}
یک جواب
$u \in BV(\Omega)$
دارد
\cite{ cher1}.

\section{بازسازی حجم سه بعدی با استفاده از برش‌های موازی دو بعدی}
تصویربرداری پزشکی از قبیل توموگرافی کامپیوتری
 \LTRfootnote{computerized tomography}$(CT)$
اطلاعاتی را که در اختیار جراحان قرار می‌دهد را به شدت افزایش داده است و یکی از محبوب‌ترین روش‌های تشخیصی است
\cite{guo}.
تصاویری که از اسکنرهای
$MRI$
یا 
$CT$
به‌دست می‌آیند معمولا دوبعدی و موازی هستند. اما در بعضی موارد، لازم است که یک حجم سه بعدی از برش‌های تصویر دوبعدی از سطح مقطع بازسازی شود
\eqref{fig30}.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig30.jpg}
\caption{
بازسازی حجم سه بعدی از برش‌های دو بعدی 
\cite{shin}
}
\label{fig30}
\end{figure}
بازسازی حجم سه بعدی از یک سری از تصاویر پزشکی کابردهای مختلفی اعم از تشخیص پزشکی، عمل جراحی پلاستیک، جراحی اندام مصنوعی، سیستم‌های جراحی مجازی ، آموزش آناتومی و برنامه‌ریزی درمان است. به‌همین دلیل، بازسازی الگوریتم‌ها توجه زیادی را به خود جلب کرده است. بازسازی حجم از یک مجموعه از مقاطع داده شده باعث به وجود آمدن بسیاری از برنامه‌های کامپیوتری شده است. بازسازی حجم سه بعدی از برش‌های تصویر دوبعدی را می‌توان  به عنوان یک مساله‌ی ترمیم در نظر گرفت. برای بازسازی حجم دو مورد ضروری است: اولا، حجم بازسازی شده باید به طور دقیق در محدودیت‌های 
برش داده شده روی صفحات موازی صدق کند. زیرا در تصویر برداری پزشکی شکل مرز دامنه‌ی محاسباتی بسیار مهم است. دوما، تمام سطوح هم سطح حجم بازسازی شده باید هموار باشند زیرا به طور مثال رگ‌های خونی و اندام‌ها در بدن انسان صاف هستند. بنابراین 
$PDE$
زیر بر پایه‌ی معادله‌ی  کاهن-هیلیارد اصلاح شده با یک اپراتور پیش همواری بر روی محدودیت‌ها اعمال می‌شود: 
\begin{equation}\label{e3.38}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta \left( -\epsilon \Delta u+\frac{1}{\epsilon}F'(u)\right) +\lambda(x)(K_\eta f-u) ~\textit{در}~\Omega
\end{equation}
که
$K_\eta$
یک اپراتور همواری محافظ لبه است که روی محدودیت‌های برش داده شده‌ی
$f$
از یک تصویر دودویی با همواری 
$\eta$
اعمال می‌شود. برای به دست آوردن یک شکل متصل شده‌ی هموار ضروری است که بین دو پارامتر همواری 
$\epsilon$
در ناحیه‌ی ترمیم و 
$\eta$
در محدودیت‌های برش تعادل برقرار کنیم. دو شکل زیر را در نظر بگیرید:
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig31.jpg}
\caption{
نتیجه‌ی‌ ترمیم 
$TV-H^{-1}$
\eqref{e3.25}
 با 
$\lambda=10$
}
\label{fig31}
\end{figure}
\newpage
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig32.jpg}
\caption{حل مساله‌ی نشان داده شده در شکل
 \eqref{fig31}
توسط ترمیم کاهن-هیلیارد با پیش همواری
 \eqref{e3.38}
}
\label{fig32}
\end{figure}
 مقایسه‌ی دو شکل 
 \eqref{fig31},\eqref{fig32}
با
$\lambda$
های یکسان، 
$\eta=1$
و
$\epsilon=0.6$
نشان می‌دهد که روش کاهن-هیلیارد با پیش پردازش به طور هموار لبه‌ها را بهم متصل می‌کند. \\
مثال دیگر یک ترمیم باینری سه بعدی برای بازسازی یک استوانه کج است.
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{fig33}&
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{fig34}&
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{fig35}\\
(آ)
&
(ب)
&
(ج)
\end{tabular}
\caption{
(آ)
سه برش داده شده در فضای سه بعدی
~~
(ب)
ترمیم کاهن-هیلیارد بدون پیش پردازش
~~
(ج)
ترمیم کاهن-هیلیارد با پیش پردازش
}\label{fig33}
\end{figure}
 همانطور که در شکل
\eqref{fig33}
مشاهده می‌کنید، سه برش با 
$6$
 فاصله بین برش ها در دامنه‌ی
  $65 \times 65 \times 13$
داده شده است. شکل
\eqref{fig34}
تریم کاهن-هیلیارد را بدون پیش پردازش با پارامترهای 
$\epsilon=1.2$
و
$\lambda=10$
نشان می‌دهد. در حالیکه شکل 
\eqref{fig35}
 با اعمال روش کاهن-هیلیارد اصلاح شده با پیش پردازش 
 \eqref{e3.38}
و 
$\eta=2, \epsilon=1.2, \lambda=10$،
یک استوانه شیب‌ دار بدون برآمدگی را تولید می‌کند که به صورت هموار به هم متصل شده‌اند.



از
\eqref{3.2}
وجود داشته باشد، لزوما معادله زیر تایید می‌شود:

\subsection*{منظم‌سازی مساله}
یک روش کلاسیک برای غلبه بر مساله مینیمم‌سازی بدوضع اضافه کردن یک عبارت منظم‌ساز است. این ایده توسط تیخونووc
و آرسمه
\LTRfootnote{Arsemh}
در سال 1977 معرفی شد. آن‌ها مساله مینیمم‌سازی زیر را در نظر گرفتند:
\begin{equation}\label{e3.4}
F(u)=\int_{\Omega}\left|u_{0}-Ru\right|^{2}\ dx+\lambda\int_{\Omega}\left|\triangledown u\right|^{2}\ dx,
\end{equation}
جمله اول وفاداری به داده‌ها و جمله دوم هموار کننده هستند. به عبارت دیگر، به دنبال بهترین
$u$
هستیم که بهترین انطباق را با داده‌ها داشته باشد تا گرادیان آن کم شود (نویز حذف شود). پارامتر
$\lambda$
یک ثابت وزنی مثبت است. برای این مساله، فضای تابعکی که هر دو جمله خوش تعریف باشد، فضای سوبولوف است:
\begin{equation*}
W^{1,2}(\Omega)=\left\{u\in L^{2}(\Omega);~\triangledown u\in L^{2}(\Omega)^{2}\right\}.
\end{equation*}
تحت فرضیات مناسب روی
$R$،
مساله
$\inf\left\{F(u),\ u\in W^{1,2}(\Omega)\right\}$
یک جواب یکتا دارد که توسط معادله اویلر-لاگرانژ مشخص می‌شود:
\begin{equation}\label{e3.5}
R^*Ru-R^*u-\lambda \triangle u=0,
\end{equation}
با شرط مرزی نیومن
$$\frac{\partial u}{\partial N}=0 \,\,\, \partial\Omega,$$
($N$
بردار نرمال خارجی
$\partial\Omega$
است.)
از آنجایی که عملگر لاپلاسین دارای خواص هموار کننده همسانگرد و بسیار قوی است و لبه‌ها را حفظ نمی‌کند در نتیجه جواب حاصل از این معادله نمی‌تواند کاندیدای  خوبی برای مساله بازسازی باشد (شکل
\ref{fig16}
را ببینید.).
\begin{figure}[!ht] 
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig16.jpg}
\caption{ بازسازی تصویر نویز دار با مینیمم سازی  \ref{e3.4}: لبه ها حذف شدند }
\label{fig16}
\end{figure}
\\
به‌طور معادل، این هموار کردن بیش از حد را می‌توان با
\eqref{e3.4}
نیز توضیح داد. نرم
$L^{p}$
با
$p=2$
گرادیان، نویز را حذف می‌کند اما متاسفانه گرادیان‌های مربوط به لبه‌ها را بسیار کوچک می‌کند.
پس باید 
$p$
را کم کرد تا لبه‌ها تا حد ممکن حفظ شوند. یکی از اولین کارها در این راستا توسط رودین\LTRfootnote{Rudin}،
اوشر\LTRfootnote{Osher}
و
فاطمی\LTRfootnote{Fatemi}
\cite{214,215}
انجام شد که به‌جای نرم
$L^{2}$
از نرم
$L^{1}$
برای گرادیان استفاده کردند و آن‌ را تغییر کل نامیدند.
\\
 برای مطاله‌ی دقیق تر تاثیر عبارت هموارسازی، انرژی زیر را در نظر بگیرید
\cite{20,245}:
\begin{equation}\label{e3.6}
E(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\left| u_{0}-Ru \right|^{2} \ dx+\lambda\int_{\Omega}\phi\left(\left|\triangledown u\right|\right)\ dx.
\end{equation}

فرض کنید
$E(u)$
دارای یک نقطه مینیمم
$u$
باشد. در این‌صورت معادله اویلر-لاگرانژ آن به صورت زیر نوشته می‌شود:
\begin{equation}\label{e3.7}
R^*Ru-\lambda \ div\left(\frac{\phi\left(\left|\triangledown u\right|\right)}{\left|\triangledown u\right|}\triangledown u\right)=R^{*}u_{0},
\end{equation}
که با باز کزدن عبارت دیورژانس، می‌توان معادله‌ی 
(\ref{e3.7})
را به صورت بسط یافته نوشت. همچنین می‌خواهیم نشان دهیم که معادله
(\ref{e3.7})
 را می‌توان با استفاده از ساختارهای تصویر محلی تجزیه کرد، در واقع همان جهات مماس و نرمال به خطوط ایزووفوت
 \LTRfootnote{Isophote}
(خطوطی که شدت در آنها ثابت می ماند) است.

\begin{figure}[!ht] 
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{fig17.jpg}
\caption{ جهت‌های مماس و نرمال}
\label{fig17}
\end{figure}

به طور دقیق‌تر، برای هر نقطه‌ی 
$x$
که
$\vert \nabla u(x) \vert \neq 0$
می‌توانیم تعریف کنیم بردارهای 
$N(x)=\frac{\nabla u(x)}{\vert \nabla u(x)\vert}$
و
$T(x)$
که
$\vert T(x) \vert=1$
متعامد هستند


\thispagestyle{empty}
\newpage
\vspace*{1cm}