\chapter*{پیش‌گفتار}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{پیش‌گفتار}
معادلات ماتریسی، به ویژه معادلات سیلوستر، از جمله مسائل مهم و پرکاربرد در ریاضیات کاربردی و مهندسی هستند. این معادلات در زمینه‌های مختلفی همچون کنترل بهینه، شناسایی سیستم‌ها، تحلیل پایداری سیستم‌های دینامیکی، و پردازش سیگنال کاربرد گسترده‌ای دارند. معادله سیلوستر به شکل 
$AX - XB = C$
بیان می‌شود، که در آن 
$A$
،
$B$
و
$C$
ماتریس‌های داده شده و
$X$
ماتریس مجهول است که باید محاسبه شود. حل این معادلات، به ویژه در مواردی که ابعاد ماتریس‌ها بزرگ است، نیازمند روش‌های عددی کارآمد و دقیق است.
\\در دهه‌های اخیر، روش‌های تکراری مبتنی بر زیرفضاهای کریلوف، به دلیل توانایی در حل مسائل بزرگ‌مقیاس، مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته‌اند. در میان این روش‌ها، روش کمترین باقی‌مانده به دلیل توانایی در کمینه کردن نرم باقی‌مانده در هر تکرار، از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. با این حال، همگرایی این روش‌ها به شدت به خواص طیفی ماتریس‌های سیستم بستگی دارد و در بسیاری از موارد، نیاز به پیش‌شرط‌سازی برای بهبود همگرایی و کارایی محاسباتی احساس می‌شود.\\
در این پایان نامه به بررسی روش‌های کمترین باقی‌مانده پیش‌شرط‌سازی شده  برای حل معادلات سیلوستر می‌پردازد. در این روش‌ها، با استفاده از پیش‌شرط‌سازهای مناسب، سیستم اصلی به یک سیستم معادل تبدیل می‌شود که حل آن ساده‌تر و سریع‌تر است. علاوه بر این، با به‌کارگیری زیرفضاهای کریلوف، ابعاد مساله کاهش یافته و نیاز به حافظه و محاسبات نیز کمتر می‌شود.\\
هدف اصلی این پایان نامه، ارائه الگوریتم‌های کارآمد و تحلیل نظری آن‌ها برای حل معادلات سیلوستر با استفاده از روش‌های پیش‌شرط‌سازی شده است. در این راستا، ابتدا مبانی نظری معادلات سیلوستر و روش‌های تکراری مرسوم بررسی می‌شود. سپس، روش‌های پیش‌شرط‌سازی شده با جزئیات کامل ارائه شده و تحلیل همگرایی آن‌ها مورد بحث قرار می‌گیرد. در نهایت، نتایج عددی و مقایسه‌ای بین روش‌های پیش‌شرط‌سازی شده و روش‌های سنتی ارائه می‌شود تا کارایی و دقت این روش‌ها به طور عملی نشان داده شود.
\\این پژوهش نه تنها برای پژوهشگران فعال در زمینه روش‌های عددی و حل معادلات ماتریسی مفید است، بلکه می‌تواند به عنوان مرجعی برای دانشجویان و مهندسینی باشد که با مسائل عملی در کنترل، پردازش سیگنال، و سایر زمینه‌های مهندسی سروکار دارند. امید است که این پژوهش گامی مؤثر در جهت توسعه روش‌های عددی کارآمد برای حل مسائل پیچیده و بزرگ‌مقیاس باشد.